以下は、数学的レシピの発見に注力している独立系土木技師、ホルヘ・スニガによるものです。ホルヘはジョーダンと協力して、私たちの研究室のサーバーとストレージを活用して数学の根本的な進歩を実現してきました。私たちはホルヘ氏とともにこの研究に参加できることに興奮しており、数週間前のソーシャル メディアの小さなティーザー ビデオは多大な支持を集めました。
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あの動画以来、私たちはホルヘ氏と協力してワークステーション上でモデルの検証を行い、その後、KIOXIA XD7P E1.S SSDを搭載したSupermicro E1.Sサーバー上でそれらを本格的に実行してきました。このプラットフォームの高密度性と、多数のドライブをCPUの近くに配置できる能力は、このような数学研究にとって非常に優れたプラットフォームとなっています。
Jorge の発見をここで紹介できることを誇りに思います。 – ブライアン・ビーラー
ストレス テストによる品質管理は、特定のハードウェア施設の実際の容量を決定するための健全なポリシーを表します。数値処理は、これらのポリシーを実装するために広く行われています。特に、システムの実際のパフォーマンスをプロの品質で評価する場合、正確な結果を得るために複数のツールを利用できます。
オーストリアで開発され、私のお気に入りの一つは、Matthias Zronek 氏のBenchMateです。これは、SSD、メモリ、GPU、CPU に対するいくつかの厳しいストレス テストを含んでいます。Zronek 氏の GPUPI などの他の高性能コンピューティング パッケージは、GPU を使用して定数 π を計算します。π の小数点以下の桁数を計算することは、既知の小数点以下の桁数の記録が更新されたときに、専門の科学雑誌や数学専門のソーシャル ネットワークでよく取り上げられる標準的で一般的なテストです。現在、π の 100 兆桁 (10^14) が知られています。
BenchMateには、Alex Yee氏のy-cruncherというプラットフォームも搭載されています。これは、πを含む多くの数学定数をCPUマルチコアで極めて高い精度で計算できるもので、システムの処理能力によってのみ制限される膨大な数の小数点以下の桁数を実現します。この場合、定数を選択し、システムに負荷をかけて十分な数の小数点以下の桁数を計算させ、その所要時間を記録するなど、いくつかの戦略が考えられます。これは、異なる独立した構成のパフォーマンスをランク付けし、比較するための優れた指標となります。
また、十分なインストール容量があれば、システム設定を実行して、特定の定数の既知の小数点以下の桁数を破ることができます。これはStorageReviewで大きな成功を収めた課題です。 2023年12月のメモで報告したように、私はStorageReviewチームと協力して、いくつかの数学定数の既知の小数点以下の桁数を改善しました。私たちはこれらの記録を破っただけでなく、最短時間でそれを達成しました。従来、これには数週間から数か月かかるのが普通でした。StorageReviewと協力することで、すべての定数についてわずか数時間でこれを達成し、場合によっては既知の小数点以下の桁数を2倍にしました。StorageReviewで利用可能なテクノロジーにより、時間の大幅な短縮が可能になりました。これらの結果の概要と詳細は、こちらで確認できます。
y-cruncherが樹立した記録。y-cruncherが樹立した記録の全リストについては、numberworldをご覧ください。
このメモはこれらの結果について正確に言及しています。小数点以下の記録を達成するには、3 つの層で行動する必要があります。
一番下の3層目、つまり最終層はハードウェア構成です。これは、堅牢なSSDの搭載、高性能なRAM容量、そして最先端のマルチコアCPUを意味します。これらの詳細や適用された構成の多くは、こちらのウェブサイトでご覧いただけます。
第2層、すなわち中間層は、初期層と最終層をつなぐソフトウェア、すなわちy-cruncherで構成されています。y-cruncherは、システム内のマルチコアCPUの種類に応じて、パフォーマンスを向上させるために異なるアトム実行ファイルを保持しています。適切な実行アトムは、実行時に自動的に選択されます。ベンチテスターを使用すると、ユーザーは定数を選択し、対応するアルゴリズムを適用できます。このアルゴリズムは、システムに直接統合することも、そうでない場合は、実装のためにカスタム構成ファイルを使用することもできます。y-cruncherの実装と使用方法の詳細については、numberworldで確認できます。y-cruncherソフトウェアは、新しいハードウェア技術の波に乗って、常に開発が続けられています。
最初の層、つまり最初の層はアルゴリズム、または y クランチャーの入力として機能する定数を計算するために実装された数式です。各定数は無限の数式で表すことができますが、多くの数学演算では正しい桁数しか得られないという意味で、ほとんどすべての式のパフォーマンスが低くなります。
もう一方は効率的な数式のカテゴリです。それらの中で、超幾何シリーズは際立っています。そのシリーズの中には、比較的短い時間枠で多くの小数点を提供できる、記録を破るのに適した少数のものがあります。実際、チュドノフスキー アルゴリズムとして知られる π を計算するための主な公式は、超幾何公式の 1 つです。
StorageReview チームと緊密に連携して、私たちはこれらの式を検索するという課題にも取り組みました。つまり、最初の層に作用して、既知の最速の式を見つけることを可能にする非常に効率的な超幾何級数を実現します。これはどのようにして実現されるのでしょうか?分散コンピューティングを適用するには、できればできるだけ多くの物理コアを備えたマルチコア セットアップが必要です。これは、このプロセスは非常に CPU を要求しますが、簡単に並列化して計算時間を大幅に短縮できるためです。新しい式が成功した場合、その定数の既知の小数点以下の桁数の記録を破るために使用されます。
私たちは64コアのAMD Theadripper PRO 5995WXを使用し、ボルドー大学（フランス）の数論プラットフォームであるPARI-GP上でコードスクリプトを作成し、探索アルゴリズムを実装しました。目的は、既知の固定構造を持つ特定の超幾何級数のパラメータに挿入すると、求める定数が得られる64ビット整数のセットを特定することです。このために、PARI-GPの内部機能であるLLLアルゴリズムを使用します。このアルゴリズムは、複数の高精度浮動小数点値間の整数線形関係を探します。より詳細な数学的情報はmathoverflow.netをご覧ください。
非常に効率的な既知の公式がないため、まず定数 ζ(5) = 1.036927755143… から始めましたが、非常にわかりにくいことが判明しました。独自の超幾何級数を超える既知の公式は見つかりませんでしたが、ちなみに、十分な速度ではありません。数週間失敗した後、対数の超幾何級数に切り替えました。
この場合、私たちは成功し、このブログで説明されているように、基本定数 log(2)、log(3)、log(5) の最速の既知のアルゴリズムを見つけることができました。
Log(2) 式の検索。 64 個の物理コアすべてがビジー状態です。
画面キャプチャ。最速の Log(2) シリーズが見つかりました。
Log(2) StorageReview G2 式が見つかりました
数式を明らかにした後、y-cruncher 用のスクリプトを準備しました。 Storagereview の Jordan Ranous は、既知の小数点以下の桁数を超えるようにインストールを設計しました。この場合、2x Intel Xeon Platinum 8460H と 512 GB の SK Hynix RAM をベースにしたセットアップです。
このセットアップにより、log(2) の小数点以下の桁数のレコードがわずか 3 時間で 42.7 倍の 2 兆桁に増加しました。 58.3 番目の新しいアルゴリズム (これも StorageReview Lab で見つかった以下の G2021 式) が小数点の検証に適用され、所要時間は 98.9 時間でした。 61.7年のこれまでの記録では、1.5兆桁の50進数の計算と検証にそれぞれ3日とXNUMX日かかったことに注意してください。これは、XNUMX 年間で約 XNUMX 倍の効率向上を意味します。
有用な結果を生み出すために必要なすべての手順を実行することができました。特別に調整されたインストールを使用して、数学定数 log(2) の新しい公式が発見されました。この式はカスタムメイドの設定に適用され、この特定の定数で知られている小数点以下の桁数の記録が破られました。
StorageReview 機能により、システムに大きな負荷をかける数値計算に基づくベンチ テストの準備プロセス全体をカバーできるようになりました。これらの実験では、SSD、RAM、CPU を極限までテストすることに成功しました。
– ホルヘ・スニガ
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