다음은 수학적 방법을 찾는 데 주력하는 독립 토목 기술자인 Jorge Zuniga의 글입니다. Jorge는 우리 연구실의 서버와 스토리지를 활용하여 수학의 근본적인 발전을 이루기 위해 Jordan과 협력해 왔습니다. 우리는 Jorge와 함께 이 연구에 참여하게 되어 매우 기뻤으며 몇 주 전의 작은 티저 소셜 미디어 비디오는 엄청난 지지를 얻었습니다.
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그 영상 이후로, 저희는 호르헤와 계속 협력하여 워크스테이션에서 모델을 검증한 다음, KIOXIA XD7P E1.S SSD 로 가득 찬 Supermicro E1.S 서버 에서 모델을 완벽하게 실행해 왔습니다 . 플랫폼의 높은 밀도와 CPU 가까이에 많은 드라이브를 배치할 수 있는 능력 덕분에 이러한 종류의 수학 연구에 매우 적합한 플랫폼입니다.
우리는 Jorge의 연구 결과를 여기에 발표하게 된 것을 자랑스럽게 생각합니다. – 브라이언 빌러
스트레스 테스트를 통한 품질 관리는 특정 하드웨어 시설의 실제 용량을 결정하는 건전한 정책을 나타냅니다. 숫자 분석은 이러한 정책을 구현하기 위해 널리 사용되는 방식입니다. 특히 전문적인 품질로 시스템의 실제 성능을 평가할 때 정확한 결과를 제공하기 위해 다양한 도구를 사용할 수 있습니다.
오스트리아에서 개발되어 제가 특히 좋아하는 프로그램 중 하나는 마티아스 즈로넥이 만든 BenchMate 입니다 . 이 프로그램에는 SSD, 메모리, GPU, CPU에 대한 여러 가지 까다로운 스트레스 테스트가 포함되어 있습니다. 즈로넥의 GPUPI와 같은 다른 고성능 컴퓨팅 패키지는 GPU를 사용하여 상수 π를 계산합니다. π의 소수점 자릿수 계산은 전문 과학 저널이나 수학 관련 소셜 네트워크에서 알려진 소수점 이하 자릿수 기록이 경신될 때마다 자주 언급되는 표준적이고 일반적인 테스트입니다. 현재 π의 소수점 이하 100조 자리(10¹⁴)까지 알려져 있습니다.
BenchMate에는 Alex Yee가 개발한 y-cruncher라는 플랫폼 도 있습니다 . 이 플랫폼은 CPU 멀티코어 연산을 통해 π를 비롯한 여러 수학 상수를 매우 높은 정밀도로 계산할 수 있으며, 시스템 용량에 따라 제한되는 엄청난 소수 자릿수까지 계산이 가능합니다. 이 경우, 몇 가지 전략을 사용할 수 있는데, 예를 들어 특정 상수를 선택하고 시스템에 부하를 주어 충분히 많은 소수 자릿수를 계산하는 데 걸리는 시간을 기록하는 것입니다. 이는 서로 다른 개별 시스템의 성능을 비교하고 순위를 매기는 데 매우 효과적인 척도가 됩니다.
또한, 설치 용량이 충분하다면 시스템 설정을 통해 특정 상수의 알려진 소수점 자릿수를 깨뜨릴 수 있습니다. 이는 StorageReview에서 성공적으로 수행한 과제입니다. 2023년 12월 보고서에서 언급했듯이, 저는 StorageReview 팀과 협력하여 여러 수학 상수의 알려진 소수점 자릿수를 개선했습니다. 이러한 기록을 경신했을 뿐만 아니라, 최단 시간 내에 달성했습니다. 과거에는 이러한 작업을 수행하는 데 몇 주 또는 몇 달이 걸리는 것이 일반적이었습니다. StorageReview와의 협력을 통해 모든 상수에 대해 단 몇 시간 만에 이를 달성했으며, 어떤 경우에는 알려진 소수점 자릿수를 두 배로 늘렸습니다. StorageReview에서 제공하는 기술 덕분에 소요 시간을 몇 자릿수 단축할 수 있었습니다. 이러한 결과 및 세부 정보는 여기에서 확인할 수 있습니다.
y-cruncher가 세운 기록적인 결과입니다. y-cruncher가 세운 전체 기록 목록을 보려면 numberworld를 방문하세요.
이 참고 사항은 이러한 결과를 정확하게 나타냅니다. 소수점 이하 자릿수 기록을 달성하려면 세 가지 계층으로 작업해야 합니다.
맨 아래부터 살펴보면, 세 번째이자 마지막 단계는 하드웨어 구성입니다. 여기에는 강력한 SSD 설치, 고성능 RAM 용량, 그리고 최첨단 멀티코어 CPU가 포함됩니다. 이러한 세부 사항과 적용된 구성은 여기에서 온라인으로 확인할 수 있습니다.
두 번째 또는 중간 계층은 초기 계층과 최종 계층을 연결하는 소프트웨어, 즉 y-cruncher로 구성됩니다. 성능 향상을 위해 y-cruncher는 시스템의 멀티코어 CPU 유형에 따라 서로 다른 아톰 실행 파일을 유지합니다. 실행 시 적절한 실행 아톰이 자동으로 선택됩니다. 벤치 테스터를 통해 사용자는 상수를 선택하고 해당 알고리즘을 적용할 수 있습니다. 이 알고리즘은 시스템에 직접 통합되거나, 그렇지 않은 경우 사용자 지정 구성 파일을 사용하여 구현될 수 있습니다. y-cruncher의 구현 및 사용에 대한 자세한 내용은 numberworld 에서 확인할 수 있습니다 . y-cruncher 소프트웨어는 새로운 하드웨어 기술의 발전에 발맞춰 지속적으로 개발되고 있습니다.
첫 번째 또는 초기 레이어는 알고리즘, 즉 y-cruncher의 입력 역할을 하는 상수를 계산하기 위해 구현된 수학 공식입니다. 각 상수는 무한한 수의 공식으로 표현될 수 있으며, 대부분의 수학 연산이 소수의 정확한 숫자만 제공할 수 있다는 점에서 성능이 좋지 않습니다.
반대편에는 효율적인 수식 카테고리가 있습니다. 그중에서도 초기하 계열이 눈에 띕니다. 해당 시리즈에는 비교적 짧은 시간 내에 많은 소수점을 제공할 수 있어 기록을 깨는 데 적합한 소수가 있습니다. 실제로 Chudnovsky 알고리즘으로 알려진 π 계산을 위한 기본 공식은 초기하 공식 중 하나입니다.
StorageReview 팀과 긴밀히 협력하여 우리는 이러한 공식을 검색하는 과제도 수행했습니다. 즉, 알려진 가장 빠른 공식을 찾을 수 있게 해주는 매우 효율적인 초기하 계열을 달성하기 위해 첫 번째 레이어에서 작업하는 것입니다. 이것이 어떻게 달성됩니까? 분산 컴퓨팅을 적용하려면 가능한 한 많은 물리적 코어를 갖춘 멀티코어 설정이 필요합니다. 프로세스는 CPU를 많이 요구하지만 계산 시간을 크게 줄여 쉽게 병렬화할 수 있기 때문입니다. 성공할 경우 새 공식은 해당 상수에 대해 알려진 소수 자릿수 기록을 깨는 데 사용됩니다.
저희는 64코어 AMD Theadripper PRO 5995WX 프로세서를 사용하고, 프랑스 보르도 대학교의 정수론 플랫폼인 PARI-GP에서 코드 스크립트를 작성하여 탐색 알고리즘을 구현했습니다. 목표는 특정 고정 구조를 가진 초하 기하급수의 매개변수에 대입했을 때 찾고자 하는 상수를 생성하는 64비트 정수 집합을 찾는 것입니다. 이를 위해 PARI-GP의 내부 기능인 LLL 알고리즘을 사용했는데, 이 알고리즘은 다중 정밀도 부동 소수점 값 사이의 정수 선형 관계를 찾습니다. 더 자세한 수학적 내용은 mathoverflow.net 에서 확인할 수 있습니다.
우리는 먼저 상수 ζ(5) = 1.036927755143으로 시작했습니다. 이는 매우 효율적인 알려진 공식이 없기 때문에 매우 파악하기 어려운 것으로 나타났습니다. 우리는 독특한 초기하 급수 외에는 알려진 공식을 찾을 수 없었습니다. 그런데 그 공식은 충분히 빠르지 않습니다. 실패한 몇 주 후에 우리는 로그에 대한 초기하 계열로 전환했습니다.
이 경우 우리는 성공을 거두었고 이 블로그 에 설명된 대로 기본 상수 log(2), log(3), log(5)에 대한 가장 빠른 알고리즘을 찾을 수 있었습니다.
로그(2) 수식 검색. 64개의 물리적 코어가 모두 사용 중입니다.
화면 캡처. 가장 빠른 Log(2) 시리즈를 찾았습니다.
로그(2) StorageReview G2 공식 발견
공식을 확인한 후 y-cruncher용 스크립트를 준비했습니다. Storagereview의 Jordan Ranous는 알려진 소수 자릿수를 초과하도록 설치를 설계했습니다. 이 경우 2x Intel Xeon Platinum 8460H 및 512GB SK Hynix RAM을 기반으로 한 설정입니다.
이 설정은 단 2시간 만에 log(3)의 소수 자릿수 기록을 42.7조 자리로 두 배 늘렸습니다. 두 번째 새로운 알고리즘(StorageReview Lab에서도 볼 수 있는 아래 G2 공식)을 적용하여 소수점을 확인했는데, 이는 58.3시간의 벽 시간이 걸렸습니다. 2021년 종전 기록은 소수점 이하 98.9조 61.7천억 자리 계산과 검증에 각각 1.5일, 50일이 걸렸다는 점에 주목해야 한다. 이는 3년 안에 효율성이 약 XNUMX배 향상된다는 의미입니다.
우리는 유용한 결과를 얻기 위해 필요한 모든 단계를 수행할 수 있었습니다. 특별히 맞춤화된 설치를 통해 수학 상수 log(2)의 새로운 공식이 발견되었습니다. 그런 다음 이 공식을 맞춤형 설정에 적용하여 이 특정 상수에 대해 알려진 소수 자릿수 기록을 깨뜨렸습니다.
StorageReview 시설을 사용하면 시스템에 큰 스트레스를 주는 수치 계산을 기반으로 벤치 테스트를 준비하는 전체 프로세스를 처리할 수 있습니다. 이 실험에서는 SSD, RAM, CPU를 극한까지 성공적으로 테스트했습니다.
– 호르헤 주니가
아마존